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高中数学|函数必考知识点汇总

By 七郎仔 •  2018-01-08 11:01 •  5次点击 短消息


函数是高考数学的基础,又是重难点,今天小编把函数的几大问题都列出来了。快点你收藏和分享吧~

一次函数


一、定义与定义式
自变量x和因变量y有如下关系:y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。
特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。即:y=kx (k为常数,k≠0)

二、一次函数的性质
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k
即:y=kx+b (k为任意不为零的实数 b取任何实数)
2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。

三、一次函数的图像及性质
1.作法与图形:通过如下3个步骤
(1)列表;
(2)描点;
(3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点)

2.性质:
(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。
(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k,b与函数图像所在象限:
当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大;
当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。
当b>0时,直线必通过一、二象限;
当b=0时,直线通过原点
当b<0时,直线必通过三、四象限。
特别地,当b=0时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数的图像。
这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通过二、四象限。

四、一次函数在生活中的应用
1.当时间t一定,距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。


二次函数

一、定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
y=ax²+bx+c
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,|a|还可以决定开口大小,|a|越大开口就越小,|a|越小开口就越大。)
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

二、二次函数的三种表达式
一般式:y=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
顶点式:y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P(h,k)]

交点式:y=a(x-x?)(x-x?) [仅限于与x轴有交点A(x?,0)和 B(x?,0)的抛物线]


三、二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像,可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。

四、抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x= -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

2.抛物线有一个顶点P,坐标为
P( -b/2a ,(4ac-b²)/4a )
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ= b²-4ac=0时,P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)


反比例函数

形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数,叫做反比例函数。

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数图像性质:反比例函数的图像为双曲线。

由于反比例函数属于奇函数,有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。

另外,从反比例函数的解析式可以得出,在反比例函数的图像上任取一点,向两个坐标轴作垂线,这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值,为|k|。

知识点:
1.过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。

2.对于双曲线y=k/x ,若在分母上加减任意一个实数 (即 y=k/(x±m)m为常数),就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。(加一个数时向左平移,减一个数时向右平移)


对数函数

对数函数的一般形式为,它实际上就是指数函数 的反函数。因此指数函数里对于a的规定,同样适用于对数函数。

对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数集合。
(2)对数函数的值域为全部实数集合。
(3)函数总是通过(1,0)这点。
(4)a大于1时,为单调递增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调递减函数,并且下凹。

(5)显然对数函数无界。


指数函数

指数函数的一般形式为,从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道,要想使得x能够取整个实数集合为定义域,则只有使得

可以得到:
(1) 指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0,对于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑。
(2) 指数函数的值域为大于0的实数集合。
(3) 函数图形都是下凹的。
(4) a大于1,则指数函数单调递增;a小于1大于0,则为单调递减的。
(5) 可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过程中(当然不能等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
(6) 函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
(7) 函数总是通过(0,1)这点。

(8) 显然指数函数无界。


奇偶性

一、定义
一般地,对于函数f(x)
(1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
(2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
(3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。
(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。
说明:①奇、偶性是函数的整体性质,对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称,如果一个函数的定义域不关于原点对称,则这个函数一定不是奇(或偶)函数。
(分析:判断函数的奇偶性,首先是检验其定义域是否关于原点对称,然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论)
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义

二、奇偶函数图像的特征
定理 奇函数的图像关于原点成中心对称图表,偶函数的图象关于y轴或轴对称图形。
f(x)为奇函数《==》f(x)的图像关于原点对称
点(x,y)→(-x,-y)
奇函数在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上也是单调递增。
偶函数 在某一区间上单调递增,则在它的对称区间上单调递减。

三、奇偶函数运算
1.两个偶函数相加所得的和为偶函数.
2.两个奇函数相加所得的和为奇函数.
3.一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
4. 两个偶函数相乘所得的积为偶函数. 
5.两个奇函数相乘所得的积为偶函数.

6.一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.


值域

一、名称定义
函数中,应变量的取值范围叫做这个函数的值域函数的值域,在数学中是函数在定义域中应变量所有值的集合。

常用的求值域的方法
(1)化归法
(2)图象法(数形结合)
(3)函数单调性法
(4)配方法
(5)换元法
(6)反函数法(逆求法)
(7)判别式法
(8)复合函数法
(9)三角代换法
(10)基本不等式法等

二、关于函数值域误区
定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中,实行“定义域优先”的原则,无可置疑。

然而事物均具有二重性,在强化定义域问题的同时,往往就削弱或谈化了,对值域问题的探究,造成了一手“硬”一手“软”,使学生对函数的掌握时好时坏,事实上,定义域与值域二者的位置是相当的,绝不能厚此薄皮,何况它们二者随时处于互相转化之中(典型的例子是互为反函数定义域与值域的相互转化)。

如果函数的值域是无限集的话,那么求函数值域不总是容易的,反靠不等式的运算性质有时并不能奏效,还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。

才能获得正确答案,从这个角度来讲,求值域的问题有时比求定义域问题难,实践证明,如果加强了对值域求法的研究和讨论,有利于对定义域内函的理解,从而深化对函数本质的认识。

三、“范围”与“值域”相同吗?
“范围”与“值域”是我们在学习中经常遇到的两个概念,许多同学常常将它们混为一谈,实际上这是两个不同的概念。

“值域”是所有函数值的集合(即集合中每一个元素都是这个函数的取值),而“范围”则只是满足某个条件的一些值所在的集合(即集合中的元素不一定都满足这个条件)。

也就是说:“值域”是一个“范围”,而“范围”却不一定是“值域”。




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